O sinal de igual (=) possibilita estabelecer uma relação entre equações que descrevem o mesmo objeto matemático com o mesmo valor ou significado, como em 1+1=2. No entanto, esse conceito de igual pode ser bastante nebuloso, podendo causar problemas ao usar programas de computador para verificação de problemas matemáticos.
Para quem tem pressa:
- O conceito de igualdade mais usado é o que define a paridade de objetos matemáticos com mesmo valor;
- No entanto, o sinal de igual também é utilizado na teoria de conjuntos para definir grupos semelhantes;
- Esses dois significados tem causado problemas, pois são definições não ambíguas, deixando aberta a interpretação e o contexto em que estão inseridos, coisas que os computadores não conseguem entender.
O conceito de igualdade remonta a pelo menos a Grécia Antiga, mas o seu sinal (=), como conhecemos atualmente, foi inventado apenas em 1557 pelo matemático galês, Robert Recorde para definir a paridade entre os objetos colocados em cada lado do igual. No começo o sinal acabou não sendo muito utilizado por outros matemáticos, mas eventualmente ele acabou sendo o substituto da frase latina “aequalis”. Quatrocentos anos depois, o igual ajudou a construir as bases para a ciência da computação, tendo sido utilizado pela primeira vez como parte de uma linguagem de programação, em 1957, no FORTRAN I.
No entanto, uma segunda definição para igualdade surgiu no final do século 19 junto da teoria dos conjuntos. Essa segunda definição foi o que o matemático britânico Kevin Buzzard, em artigo disponível para pré-impressão no ArXiv, apontou estar causando problemas.
Seis anos atrás pensei ter entendido a igualdade matemática. Achei que era um termo bem definido… Então comecei a tentar fazer matemática de nível de mestrado em um teorema de computador provador, e descobri que a igualdade era um conceito bastante mais espinhoso do que eu imaginava.
Kevin Buzzard, em trecho da publicação
O igual na teoria dos conjuntos
Na teoria de conjuntos, um conjunto como {1, 2, 3} pode ser considerado igual a outro conjunto como {a, b, c}, devido ao isomorfismo canônico, que compara semelhanças na estrutura de diferentes conjuntos.
No entanto, considerar o isomorfismo canônico como igualdade tem causado problemas para matemáticos que tentam resolver problemas usando computadores, isso porque, segundo Buzzard, nenhum dos sistemas utiliza o igual (=) da mesma forma que uma teoria do século 20 que usa conjuntos para descrever a igualdade.
A solução apontada por alguns matemáticos é redefinir os conceitos para que eles sejam igualados. No entanto, no artigo, é defendido que essas divergências servem para nos levar a repensar o que exatamente queremos dizer com alguns conceitos matemáticos, para os computadores poderem entendê-los melhor.
Quando alguém é forçado a escrever o que realmente quer dizer e não consegue se esconder atrás de palavras tão mal definidas. Às vezes descobrimos ser preciso fazer um trabalho extra, ou até mesmo repensar como certas ideias deveriam ser apresentadas.
Trecho da publicação